資料：地球の放射平衡の計算式

※これは前記事「地球には温室効果が不可欠だ」に関連する資料です。
　前記事とあわせてお読み下さい。

以下に地球の放射平衡に関する数式を記す。下記資料に基づいている。
●東京大学先端科学技術研究センター 地球大気環境科学分野　近藤研究室
　先端学際工学専攻 先端物質デバイス論 講義資料（平成19年度、地球温暖化の項）
　http://www.atmos.rcast.u-tokyo.ac.jp/pdf/H19_Climate.pdf
●気象ノート：第5章 大気における放射
　http://homepage1.nifty.com/weather/yoho-note/yoho05.html

物体はその温度が絶対零度でない限り絶えず電磁波を放射している。
一般に、よく放射する物体は吸収もよくする。そこで、入射してきた電磁波をすべて吸収する
ような仮想的な物体を考える。このような物体のことを「黒体」という。黒体の単位面積から
単位時間に放射される熱量φはステファン・ボルツマンの法則に従えば下記のようである。
　　φ = σ T^4
ここで、σ=5.67×10^-8 W/(m^2 K^4) 、Tは黒体の温度(K)である。

上式に基づくと、太陽が単位時間あたりに放出する熱量の総量（Es）は
　　Es = 4 π Rs^2 (σ Ts^4）
ここでRsは太陽の半径、Tsは太陽の表面温度、πは円周率である。
太陽は単純に球形の黒体としている。

次に地球が単位時間・単位面積で受け取る熱量をFsとすると
　　Fs = Es / (4 π d^2)
ここでdは地球と太陽の距離である。単純のため地球の公転軌道は太陽を中心とする円と
している。Rs=7×10^5 km、d=1.5×10^8 km、Ts=5800Kとすると、Fsは約1397 W/m^2
となる。これを地球上への太陽フラックスと呼ぶ。実際の観測値は1370W/m^2程度なので
以降は、Fs=1370 W/m^2とする。

では地表の単位面積に単位時間あたりに入射する熱量Feを考えよう。太陽側から見た
地球の面積（地球の断面積）に入射した熱量は、速やかに地球表面全体（南北、昼夜を
問わず）に行き渡ると仮定すると、
　　Fe = Fs π Re^2 (1-A)/(4 π Re^2)= Fs(1-A)/4
Reは地球の半径、Aはアルベドである。地球は単純に球形の黒体としている。
A=0.28（＝地球は太陽からの入射熱量の28%を平均的に跳ね返している）とすると
Fe=約246.6 W/m^2である。これが太陽から地球へと平均的に入射する熱量である。
さらに地球上では水平方向の温度は均質と仮定する。ここまで単純化すれば、地表を
もはや球とせず、平板として考えてもほぼ同じである。

1）温室効果がない場合
地表へ入射する平均太陽放射フラックスは地表を暖めるが、やがて暖まった地表からも放射に
よって熱量が逃げていく。十分長い時間が経ちこの2つが釣り合う（放射平衡状態）とすれば、
下式が成り立つ。
　
T0は地表の温度(K)である。この式を解くと、T0=256.8K=-16.3℃である。
これを図にしたものが前記事の図1である。

2）温室効果がある場合
地表から放射される熱量のうち、ある割合(f)だけ熱量を吸収するような大気を考える。
つまり完全な黒体ではなく灰色体といえる。このような灰色体はある温度の時に放射する熱量も
黒体の場合のf倍である。大気を一層とし、大気の温度は均一（T1）とし、地表温度をT0とする。


図を見ると、奇異に感じるところがある。大気は太陽からの放射はほとんど吸収しないが、
地表からの放射を吸収しうると言う点である。大気を単純な「膜」のような物質と考えると奇異
である。しかし温室効果ガスは”太陽から放射される電磁波をあまり吸収せず、地表から放射
される電磁波をよく吸収する”という性質があるために上図のような現象が起きうるのである。
その詳細については本記事冒頭で紹介した"先端物質デバイス論"をご覧頂きたい。

上図のように、大気の上面および内部が放射平衡状態であるならば、下式が成り立つ。
　
この2式を解くと、地表温度Toは以下の式から求めることができる。
　
単純にf=1（つまり大気も黒体）とすると、温室効果としては最大になり、
地表温度T0=305.4K=32.2℃である。これを図にしたものが前記事の図2である。

なお参考のため、f=0.77とした場合を下図に示す。

この場合地表温度は17℃となり、実際の温度に近づくため、教科書的にはこの例がよく紹介
されている。しかし実際には二酸化炭素や水蒸気などの温室効果ガスを含む大気は、地表
からの放射をかなりの割合で吸収する（f=1に近い）。従ってf=0.77は、"大気の対流によって
見かけ上低くなった大気の放射吸収率"と考えるとよいのであろう。

以上、資料終わり。次回に続きます。

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追記（12/21）：
実際の大気は上図とは異なり、太陽からの放射を多少吸収している。このときの吸収率を
f0とする場合、式1は変わらないが、式2の左辺は下式のように若干変わる（赤色）。


このとき式1と2を解けば、地表温度T0を計算することが出来る（下式）。

これを図にしたものが前記事の図3である。

コメント 24

う～～～ん・・・・むずい・・・・・ってか　わからん・・・・
・・・・・凄いです。
by やまおか (2008-12-16 17:56) 

＞う～～～ん・・・・むずい・・・・・ってか　わからん・・・・
やまおかさん、ごめんなさい。前の記事を良く読んだら「簡単な式で説明
できる」って書いてあるのに、こっちの記事は普通に学問風に書いてました。
一つ前の記事だけ読んでいただれば十分です。
そもそもこの記事自体は蛇足なんです。でもこれがないとあとでグダグダ
しそうなのでちゃんと数式を書いてみた次第です。
by MANTA (2008-12-16 19:54) 

３K放射を無視して、大気を半透明の平行平板と考えれば手計算できるんですね。このオーダーで合うのはスバラシー。
by keisuke (2008-12-16 20:59) 

>このオーダーで合うのはスバラシー
keisukeさん、ですよね～　それだけ温暖化の有無の違いは明瞭！という
ことなのでしょうね。
by MANTA (2008-12-17 01:58) 

私の講義で使っていいですか？ぐらいの勢いですね（笑）
でも、この内容で話したら、私の講義（2年前期）では、だーれもついてこないだろうなあ・・・（涙）

by かっぱ (2008-12-17 11:13) 

＞地表から放射される熱量のうち、ある割合(f)だけ熱量を吸収するような大気を考える。

http://homepage1.nifty.com/gfk/kyusyuritsu-keisan.htm
参照
　
式２は間違っているのではないでしょうか？
左辺はｆ　が付きますが、右辺には　ｆ　は付きません。
従って式１も違ってきます。（大気からの放射には　ｆ　が付きません。）

ｆ＝０のとき新しい式２では、大気温度は０になってしまう欠陥連立方程式です。
（ｆ　がどの範囲なら適用出来るのかわかりません）
by 期待人 (2008-12-17 14:02) 

＞地表から放射される熱量のうち、ある割合(f)だけ熱量を吸収するような大気を考える。
前コメント撤回します。
すみません。
文献の大気を灰色体としての扱いが不十分でした。
http://homepage1.nifty.com/gfk/kyusyuritsu-keisan.htm
by 期待人 (2008-12-17 16:47) 

>私の講義で使っていいですか？ぐらいの勢いですね（笑）
かっぱさん、すべては講義資料を公開してくださっている東大の先生の
おかげです。勉強になりますです。あと私自身ちょっとムキになっている
面もあります（笑）。

＞でも、この内容で話したら、私の講義（2年前期）では、だーれもついて
＞こないだろうなあ・・・（涙）
そうですか…（涙）　でもなぜか皆さん、前の記事じゃなくてこちらの記事に
コメントをたくさん下さるんですよね。それもちょっと面白かったりします。
by MANTA (2008-12-17 18:01) 

＞式２は間違っているのではないでしょうか？
期待人さん、そうなんです。僕も始めそう思ったんです。面白いでしょ？
大気の吸収率と放射率が同じfであること、地表は（地中向きへの放射が
できないので）上向き放射のみですが、大気は上下方向へ放射できること、
この2つが式2を作り上げます。
ちなみにf=0（温室効果なし）の時は式2の両辺がゼロになるので欠陥
方程式ではないです。大気温度はゼロKになります。またリンク先の灰色体
の扱いはざっと見た限りはあっていると思います。
by MANTA (2008-12-17 18:02) 

数式を理解する能力と気力が無くて申し訳ないのですが、この計算式、係数をどう設定するかは、結構アバウトのような気がしました。

それよりも、現在の二酸化炭素地球温暖化説の問題は、科学ではなくプロパガンダになっていることだと感じています。

例えば、二酸化炭素濃度が高くなって温暖化したほうが、植物の生育スピードは上がり、食糧生産には有利だから問題ないんだ、過去にはそんな時代もあった、という人も世の中にはいます。

温暖化しているのか、しているとしたらその原因は、今後どこまで温暖化するか、その環境への影響は、と言うところまで考えると非常にあいまいで、科学的に、どこまで実証されているのか疑問です。

にもかかわらず、二酸化炭素排出削減が叫ばれ、排出権市場が出来あがり、日本が大金を払うことは絶対的事実として確定しています。

人為的二酸化炭素が地球温暖化の原因となりその結果人類が滅亡する可能性は否定しません。しかし、現在の地球温暖化説は、事実とは無関係に、世界の政治に（エコ商品を売りたい人に）明らかに都合よく利用されていると思います。
by のだおじさん (2008-12-20 21:51) 

＞それよりも、現在の二酸化炭素地球温暖化説の問題は、科学ではなく
＞プロパガンダになっていることだと感じています
まず温暖化をちゃんと科学的目で見てはいかがでしょうか？この連載記事
はその助けになると思います。逆に「プロパガンダ」だと思い込んで、真実を
見落とすことがないようにしたいと私は考えています。
「数式が難しい」のは重々承知ですが、その帰結として温室効果は必ず
あるという結論に至るのです。これが科学の難しく、また興味深いところ
ではないでしょうか？

排出権削減、エコ商品などの話もいずれこの連載記事で必ずします。
（だからタイトルが「地球温暖化とエネルギー問題」なのです）
相当先になりますが、ご期待ください？
by MANTA (2008-12-21 08:06) 

私、算数レベルでギブアップだから
なんにがなんだか・・・
by ecco (2008-12-23 15:07) 

＞私、算数レベルでギブアップだから…
eccoさん、分かりにくくてすみません。まあ気が向いたらパズル感覚で
みていただければ…　そういえば、先日飛行機の機内で、機内誌の数学
パズルを必死で解いてたら、頭が痛くなりました。パズルといっても難しい。
結局世の中、難しいことだらけなんですよ
（あれ？なにを言いたいんだっけ　笑）
by MANTA (2008-12-24 23:08) 

＞まず温暖化をちゃんと科学的目で見てはいかがでしょうか？この連載記事はその助けになると思います。逆に「プロパガンダ」だと思い込んで、真実を見落とすことがないようにしたいと私は考えています。

おっしゃるとおり。まずは事実の追求が大事だと思います。

＞「数式が難しい」のは重々承知ですが、その帰結として温室効果は必ず
あるという結論に至るのです。これが科学の難しく、また興味深いところ
ではないでしょうか？

温室効果は必ずあることも、疑問の余地は無さそうですね。

ただ、最近の環境問題で、一番違和感を感じるのは二酸化炭素排出削減一本槍になっていることです。そのために原子力発電を推進したりしているのですが、原子力発電は環境に優しいのか非常に疑問です。

本来環境問題は人口物質による環境汚染・肉体破壊や資源の枯渇など幅広い問題で、温暖化はその中の一つにしか過ぎないでしょう。そして環境問題の根本原因は大量生産、大量消費、大量廃棄であることは明らかです。

二酸化炭素が環境問題の根本原因で、エネルギー源を石油から原子力に変えたら環境問題が解決するかのような論調は、ごまかしですよね。
by のだおじさん (2009-01-10 20:56) 

"のだおじさん"さん、おっしゃるとおりです。温暖化対策とエネルギー政策
は深くリンクしています。なのでカテゴリー名をはじめから「地球温暖化と
エネルギー問題」としています。そう遠くないうちにエネルギーの話にシフト
したいと思っています。
by MANTA (2009-01-11 23:14) 

A=0.28というのは、雲の反射も含めているのだと思います。
雲は水滴径があまり小さいと自然蒸発するため、赤外領域でも白色（といっても長波長側までは無理ですが）
ですから、放射平衡としては地上温度に影響を与えません。

アルベドで雲を含めて、雲を含めて温室効果ガスとするのか
アルベドで雲を含めず、雲を無視するのか、どうすべきか難しい判断ですが、

前者だと気温が上がり水蒸気量が増えるとどんどん温室効果（放射強制力）が増えてしまうので、計算ミスがアチコチ起きそうで怖いですね。
by おおげさのたぐいです (2010-03-08 12:21) 

ええと、
＞T0は地表の温度(K)である。この式を解くと、T0=256.8K=-16.3℃である。
というように、MANTAさんも温室効果が無ければ-16℃であるかのように誘導されていませんか？
雲の太陽光を反射する効果を入れたアルベドで計算してる以上、-16.3℃という数字を表記する意味は無いと思います。　

この数字のトリックが、一般人に温室効果が過大であるかのように錯覚させる原因を作っていると私は思っています。
温室効果が無ければというなら、雲を排したアルベドで計算すべきです。
by おおげさのたぐいです (2010-03-09 10:57) 

おおげさのたぐいさん、まず、
＞前者だと気温が上がり水蒸気量が増えるとどんどん温室効果（放射強
＞制力）が増えてしまうので、計算ミスがアチコチ起きそうで怖いですね。
たぶん計算ミスなどは起きません。本稿では定常状態の式を書きましたが、
非定常の式でも解くことはそう難しくないはずです（対流などを仮定しない
このモデルの限りでは）。

またアルベドの値は実測値です。この値をそんなに大きく変えることはでき
ないと思いますが。
by MANTA (2010-03-09 18:35) 

CO2の温室効果は放射強制力=5.35*ln(C/C0) [W/㎡] となっています。これに、MANTAさん紹介のpdf P20
λ(気候感度パラメータ）= 0.3 K ㎡/W　
を掛け算した結果に対して地球シミュレータ等の温室効果は過大です。
これは水蒸気フィードバック：アルベドフィードバックとして説明されていますが、低緯度の海でも+3℃以上気温上昇することからみて、水蒸気フィードバックを放射強制力換算で3℃/λ-5.35*ln(2)=6.3W/㎡以上取ってるわけです。入力の2.7倍のゲインがあるわけです。

緯度の差による太陽輻射エネルギーの差に対しても同じようにゲインが無いとならない筈と思えるので、これは異常な設定だと思えます。

それで、雲を含めたアルベドでスタートするとミスし易いんじゃないのかと勘ぐってる訳です。

また前述のように、この過大な気温上昇がさも自然に見えるカムフラージュとして「温室効果が無ければ-16℃」が役立っていると思えるので、こうして目くじら立ててるわけです。　ペットボトルによる温室効果検証実験も同じで、「こんな簡単に検証出来るくらい温室効果は大きい」という結論になりかねないのでいちいちコメントしてしまってるわけです
by おおげさのたぐいです (2010-03-09 19:13) 

＞放射強制力=5.35*ln(C/C0) [W/㎡]
おおげさのたぐいさん、いつか言おうと思っていたのですが、貴殿の出す式
や数字の根拠は何ですか？　URLなどをご紹介いただければ幸いです。
これ以上、引用もない数字を根拠とした議論を続けるようであれば、コメント
を削除せざるを得ない可能性をここで指摘しておきます。

＞それで、雲を含めたアルベドでスタートするとミスし易いんじゃないのかと
＞勘ぐってる訳です。
何に対して「それで」なのか、理解に苦しみます。上記の簡単なモデルに
ついては特に異論なしと言うことでよいでしょうか？

難しいモデルについては、いろいろあると思いますが、それはこの記事の
趣旨ではありません。あしからず。

by MANTA (2010-03-09 21:26) 

5.35*ln(C/C0) の根拠
http://www.ipcc.ch/ipccreports/tar/wg1/222.htm

地球シミュレータの温室効果予測（数値はpdfの地図より)
http://www.env.go.jp/earth/earthsimulator/index.html

http://www.kantei.go.jp/jp/singi/tikyuu/kaisai/dai02tyuuki/siryou3_7-2.pdf

＞上記の簡単なモデルについては特に異論なしと言うことでよいでしょうか？
モデルに対してではなく、
＞1）温室効果がない場合
として-16.3℃を書く事に対して疑問です。理由は前述の通り。

by おおげさのたぐいです (2010-03-10 05:15) 

ありがとうございます　＞　おおげさのたぐいですさん。
こうしてきちんと出典を出して頂けると議論もしやすいですね。このブログでも
ご紹介の様なより複雑な現象やモデルも取り扱っていきたいと思いますが
まだまだ道のりは長いです・・・よろしくお付き合いください。
by MANTA (2010-03-10 12:20) 

雲を含めたアルベドでスタートすると計算ミスする例を見つけたのでご連絡まで。
http://www-cger.nies.go.jp/qa/11/11-2/qa_11-2-j.html
＞現在の大気の持つ温室効果がおよそ33度ですので、二酸化炭素による温室効果はその26%、およそ9度になります。
と記載されていますが、

図1には晴天時（雲がない場合）での寄与
H2O 60% 75W/㎡
CO2 26% 32W/㎡
O3　08% 10W/㎡
他　06% 08W/㎡
と書かれており、
（雲のある場合）で求めた33℃と（雲がない場合）との比という間違った計算になっております。

by おげさのたぐいです (2010-03-13 13:33) 

おげさのたぐいですさん、なるほど、雲のアルベドは加味しているけれど、
雲の温室効果はゼロとしていますね。雲ってやつは、専門家にとってもつい
無視してしまうようなやっかいなヤツのようですが、面白い存在です。
関連する連載記事を間もなく投稿します。
長々とかかってしまってすみません（汗）
by MANTA (2010-03-19 20:05)